makalah matematika modern
PENGANTAR MATEMATIKA MODERN
“LOGIKA MATEMATIKA”
Disusun Untuk Memenuhi Tugas Pengantar Matematika Modern
Dosen Pengampu
Nining Puji Lestari, M.Pd
Disusun oleh :
Siti Hadija Atbar (017131015)
Nurrahma Bustamin (017131011)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN
IAIN FATAHUL MULUK PAPUA
2018
LOGIKA MATEMATIKA
Logika matematika merupakan terjemahan dari Symbolic Logic.
Pernyataan
Pernyataan (statement) merupakan kalimat atau kalimat Matematika tertutup yang benar atau salah,tetapi tidak kedua-duanya. Umumnya pernyataan itu dinyatakan dengan huruf kecil, misalnya: p, q, r,.......
Contoh pernyataan yang benar :
Jakarta ada di pulau Jawa
Joko Widodo adalah salah satu Presiden Indonesia
Ekor seekor kambing ada satu
Contoh pernyataan yang salah :
2 + 4 = 5
Ekor seekor kambing ada empat
Bali ada di pulau Papua
Contoh bukan pernyataan :
Hapus papan tulis itu! (kalimat perintah)
Ibu Dewi pandai mengetik
Kota bandung tidak jauh
Kebenaran atau kesalahan suatu pernyataan disebut nilai kebenaran dari pernyataan itu. Nilai kebenaran pernyataan p umumnya ditulis dengan notasi τ(p). Nilai kebenaran suatu pernyataan yang benar ditulis B (singkatan dari benar) dan nilai kebenaran dari pernyataan yang salah ditulis S (singkatan dari salah). Misalnya τ(5+2=7) = B, τ(ekor kambing ada 3) = S.
Dua pernyataan atau lebih dapat digabungkan menjadi sebuah pernyataan baru yang merupakan pernyataan majemuk. Tiap pernyataan dari pernyataan majemuk itu disebut komponen-komponen pernyataan majemuk.
Konjungsi
Dua prnyataan dapat digabungkan dengan “dan” sehingga terbentuk pernyataan majemuk. Notasi “dan” dalam logika matematika ialah ˄. Misalnya bila pernyataan-pernyataannya p dan q, maka p˄q merupakan konjungsi (conjunction) dari pernyataan p dan q, yang artinya “p dan q”.
DEFINISI : Bila p dan q merupakan pernyataan-pernyataan yang benar, maka p˄q merupakan pernyataan yang benar pula, bila p dan q dalam keadaan lainnya, maka p˄q merupakan pernyataan yang salah.
Contoh :
Jakarta ada di pulau Jawa dan 2 + 4 = 6 (Benar)
Jakarta ada di pulau Jawa dan 2 + 4 = 5 (Salah)
Jakarta ada di pulau Bali dan 2 + 4 = 6 (Salah)
Jakarta ada di pulau Bali dan 2 + 4 = 5 (Salah)
Disjungsi
Dua sebarang pernyataan dapat digabungkan oleh perkataan “atau” (maksudnya “dan atau”) sehingga menjadi pernyataan majemuk yang disebut disjungsi (disjunction) dari kedua pernyataan semula. Bila dua pernyataan itu ialah p dan q maka disjungsi dari p dan q ditulis p˅q, dibaca “p atau q”.
DEFINISI : Bila p atau q atau kedua-duanya merupakan pernyataan yang benar, maka p˅q merupakan pernyataan baru yang benar, yang lainnya salah. Jadi, disjungsi dari dua pernyataan itu salah bila kedua komponen pernyataannya merupakan pernyataan yang salah.
Contoh :
Jakarta ada di pulau Jawa atau 2 + 4 = 6 (Benar)
Jakarta ada di pulau Jawa atau 2 + 4 = 5 (Benar)
Jakarta ada di pulau Bali atau 2 + 4 = 6 (Benar)
Jakarta ada di pulau Bali atau 2 + 4 = 5 (Salah)
Untuk menyatakan gabungan dua pernyataan dengan disjungsi, tetapi yang kita maksudkan hanya “atau” (tidak kedua-duanya), digunakan disjungsi eksklusif yang diberi notasi ∨. Jadi, bila p ialah “Jakarta ada di Jawa” dan q ialah “2+4=6”, maka p ∨ q itu merupakan pernyataan yang benar hanya untuk “Jakarta ada di pulau Jawa atau 2 + 4 = 5” dan “Jakarta ada di pulau Bali atau 2 + 4 = 6”, sedangkan “Jakarta ada di pulau Jawa atau 2 + 4 = 6” dalam disjungsi eksklusif ini merupakan pernyataan yang salah.
Penyangkalan
Penyangkalan (negation) dari pernyataan p ditulis ~p dan dibaca “bukan p”. Sudah jelas suatu pernyataan dan penyangkalannya merupakan dua pernyataan yang nilai kebenarannya berlawanan. Misalnya p adalah suatu pernyataan “Jakarta ada di pulau Jawa”, maka ~p ialah “salah bahwa Jakarta ada di pulau jawa” atau dengan perkataan sehari-hari ~p itu ialah “Jakarta tidak ada di pulau Jawa”.
DEFINISI : Penyangkalan p ialah benar bila p merupakan pernyataan yang salah, dan sebaliknya penyangkalan p itu salah bila p merupakan pernyataan yang benar.
Tabel Kebenaran
Untuk dapat melihat nilai kebenaran dari pernyataan majemuk, kita dapat menggunakan tabel kebenaran (truth table). Suatu pernyataan itu dapat benar atau salah. Jadi suatu pernyataan itu mempunyai dua kemungkinan, kemungkinan yang pertama ialah benar dan kemungkinan yang kedua ialah salah. Bila kita mempunyai dua buah pernyataan dan kita gabungkan, maka komposisi gabungan kedua pernyataan itu dapat :
Pernyataan yang pertama benar, pernyataan yang kedua benar
Pernyataan yang pertama benar, pernyataan yang kedua salah
Pernyataan yang pertama salah, pernyataan yang kedua benar
Pernyataan yang pertama salah, pernyataan yang kedua salah
Andaikan pernyataan yang pertama itu ialah p dan pernyataan yang kedua ialah q. Maka komposisi gabungan kedua pernyataan yang disebut di atas itu (empat macam) dapat kita rangkum pada suatu tabel sebagai berikut :
τ(p) τ(q)
B B
B S
S B
S S
p q
B B
B S
S B
S S
Untuk menyederhanakan
Penulisan tanda τ di
buang menjadi
Contoh tabel kebenaran konjungsi, disjungsi, dan penyangkalan :
p q ~p p˄q p˅q ~p˅q
B B S B B B
B S S S B S
S B B S B B
S S B S S B
Tautologi dan Kontradiksi
Pada tabel kebenaran dari suatu pernyataan ada kolom-kolom yang sesuai dengan banyaknya penghubung. Dari kolom-kolom itu ada kolom penghubung terakhir. Bila pada kolom penghubung terakhir itu semuanya B, yaitu bahwa pernyataan itu benar untuk setiap nilaii kebenaran dari setiap pernyataan yang digabungkan (tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya), maka pernyataan yang demikian itu disebut tautologi. Ada juga yang sebaliknya, semuanya S, maka pernyataan yang demikian itu disebut kontradiksi.
Contoh :
p q p˄q p˅q ~(p˄q) ~(p˅q) p˅~(p˄q)* (p˄q)˄~(p˅q)**
B B B B S S B S
B S S B B S B S
S B S B B S B S
S S S S B B B S
(*) semuanya B, maka p˅~(p˄q) ialah tautologi
(**) semuanya S, maka (p˄q)˄~(p˅q) ialah kontradiksi
Pernyataan-pernyataan ekuivalen
Dua pernyataan disebut ekuivalen bila tabel kebenarannya sama. Notasi untuk ekuivalensi ialah ≡.
Contoh :
p q p˅q ~( p˅q) ~p ~q ~p˄~q
B B B S S S S
B S B S S B S
S B B S B S S
S S S B B B B
Karena kolom keempat dan kolom ketujuh sama, maka ~( p˅q) ≡ ~p˄~q.
Pernyataan Kondisionil
Dalam metematika banyak pernyataan-pernyataan atau kalimat-kalimat yang demikian, “bila p maka q”. Pernyataan-pernyataan yang demikian disebut pernyataan-pernyataan kondisionil atau bersyarat dan ditulis p→q (dibaca : bila p maka q). Tanda penghubung disebut implikasi. Pernyataan yang disebut lebih dulu (disini p) disebut antisiden sedangkan yang ditulis kemudian (disini p) disebut konsekwen. Misalnya, “udara berawan maka hari hujan”. Antisidennya ialah “udara berawan” dan konsekwennya ialah “hari hujan”.
DEFINISI : pernyataan p→q itu merupakan pernyataan yang benar, kecuali dalam keadaan p merupakan pernyataan yang benar dan q merupakan pernyataan yang salah.
Tabel kebenaran dari pernyataan kondisionil
p Q p→q
B B B
B S S
S B B
S S B
Contoh :
Bila Jakarta ada di pulau Jawa maka 2 + 4 = 6 (Benar)
Bila Jakarta ada di pulau Jawa maka 2 + 4 = 5 (Salah)
Bila Jakarta ada di pulau Bali maka 2 + 4 = 6 (Benar)
Bila Jakarta ada di pulau Bali maka 2 + 4 = 5 (Benar)
Pernyataan Bikondisionil
Kalimat atau pernyataan dalam matematika yang juga umum ialah “p jika dan hanya jika q”. Pernyataan ini ditulis p↔q dan disebut pernyataan bikondisionil atau bersyarat ganda.
DEFINISI : Bila p dan q merupakan pernyataan-pernyataan yang nilai kebenarannya sama, maka p↔q merupakan pernyataan yang benar, bila p dan q nilai kebenarannya tidak sama, maka p↔q perupakan pernyataan yang salah.
Tabel kebenaran dari pernyataan bikondisionil
p q p↔q
B B B
B S S
S B S
S S B
Contoh :
Jakarta ada di pulau Jawa jika dan hanya jika 2 + 4 = 6 (Benar)
Jakarta ada di pulau Jawa jika dan hanya jika 2 + 4 = 5 (Salah)
Jakarta ada di pulau Bali jika dan hanya jika 2 + 4 = 6 (Salah)
Jakarta ada di pulau Bali jika dan hanya jika 2 + 4 = 5 (Benar)
Pernyataan Konvers, Invers, dan Kontrapositif
Perhatikan pernyataan kondisional p→q. Maka pernyataan q→p, ~p→~q, dan ~q→~p berturut-turut disebut pernyataan konvers, invers, dan kontrapositif.
Pernyataan kondisionil Pernyataan konvers Pernyataan invers Pernyataan kontrapositif
Bila sekarang hari minggu maka besok hari senin Bila besok hari senin maka sekarang hari minggu Bila sekarang bukan hari minggu maka besok bukan hari senin Bila besok bukan hari senin maka sekarang bukan hari minggu
Tabel kebenaran dari pernyataan kondisionil, konvers, invers, dan kontrapositif adalah sebagai berikut :
kondisionil konvers invers Kontrapositif
p q ~p ~q p→q q→p ~p→~q ~q→~p
B B S S B B B B
B S S B S B B S
S B B S B S S B
S S B B B B B B
Kuantor
Ambillah misalnya kalimat matematika tertutup “3<10 dan 0<3”. Ini merupakan kalimat (pernyataan) yang salah. Sedangkan bila lambang bilangan 3 diganti dengan x, maka akan diperoleh “x<10 dan 6<x”. Kalimat matematika terbuka ini, (x<10 dan 6<x) akan menjadi kalimat matematika tertutup bila x diganti dengan harga tertentu, misalnya x = 4. Maka, “x<10 dan 6<x” menjadi “4<10 dan 6<4” yang merupakan pernyataan yang salah. Tetapi bila x diganti dengan 7 maka “x<10 dan 6<x” menjadi “7<10 dan 6<7” yang merupakan pernyataan benar.
Mengganti x dari suatu kalimat matematika terbuka oleh bilangan tertentu agar menjadi suatu pernyataan inilah penggunaan kuantor (quantifier) itu.
Notasi quantifier adalah ∃ x (dibaca : untuk beberapa harga x atau paling sedikit ada satu x) dan ∀ x ( dibaca : untuk semua harga x ). Simbol ∀ x disebut kuantor universil, sedangkan simbol ∃ x disebut kuantor eksistensiil.
Misalkan : x = anggota manusia
p merupakan pernyataan : x adalah mahasiswa maka (∃ x) (p) artinya “beberapa orang adalah mahasiswa” atau “ada paling sedikit satu orang yang merupakan mahasiswa”. Sedangkan ( ∀ x ) maksudnya “semua orang adalah mahasiswa” atau “setiap orang adalah mahasiswa”.
Kita perhatikan penyangkalan dari kuantor (∃ x) (p), dimana ( ∃ x ) (p) artinya ialah “beberapa orang adalah mahasiswa”. Penyangkalan dari “beberapa orang adalah mahasiswa” ialah “semua orang bukan mahasiswa”, sehingga :
~∃ xp↔∀ x(~p)
Sedangkan penyangkalan dari “ semua orang adalah mahasiswa” ialah “beberapa orang adalah bukan mahasiswa” atau
~∀ x(p)↔∃ x~p
Simbol kuantor bisa saja terdapat lebih dari sebuah, misalnya untuk bilangan asli berlaku :
∀ x∀ y(x.y=y.x), yang artinya “untuk setiapp x dan y berlaku x.y = y.x”
Kalimat matematika :
∃ x∃ y(x.y=10), dibaca “ ada paling sedikit x dan y sehingga x.y = 10”
∃ x∀ y(x.y=1), dibaca “ ada sebuah x sehingga untuk semua y berlaku x.y=1”
∀ x∃ y((x+y)=1), artinya “ untuk semua x paling sedikit ada sebuah y sehingga x + y = 1”
(dimana A = {1, 2, 3, ...} ) : ∀ x∈A(x+6>10), dibaca : untuk semua bilangan asli x, x + 6 > 10.
DAFTAR PUSTAKA
Ruseffendi, E.T. 1979. Dasar-dasar Matematika Modern untuk Guru. Tarsito : Bandung .
“LOGIKA MATEMATIKA”
Disusun Untuk Memenuhi Tugas Pengantar Matematika Modern
Dosen Pengampu
Nining Puji Lestari, M.Pd
Disusun oleh :
Siti Hadija Atbar (017131015)
Nurrahma Bustamin (017131011)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN
IAIN FATAHUL MULUK PAPUA
2018
LOGIKA MATEMATIKA
Logika matematika merupakan terjemahan dari Symbolic Logic.
Pernyataan
Pernyataan (statement) merupakan kalimat atau kalimat Matematika tertutup yang benar atau salah,tetapi tidak kedua-duanya. Umumnya pernyataan itu dinyatakan dengan huruf kecil, misalnya: p, q, r,.......
Contoh pernyataan yang benar :
Jakarta ada di pulau Jawa
Joko Widodo adalah salah satu Presiden Indonesia
Ekor seekor kambing ada satu
Contoh pernyataan yang salah :
2 + 4 = 5
Ekor seekor kambing ada empat
Bali ada di pulau Papua
Contoh bukan pernyataan :
Hapus papan tulis itu! (kalimat perintah)
Ibu Dewi pandai mengetik
Kota bandung tidak jauh
Kebenaran atau kesalahan suatu pernyataan disebut nilai kebenaran dari pernyataan itu. Nilai kebenaran pernyataan p umumnya ditulis dengan notasi τ(p). Nilai kebenaran suatu pernyataan yang benar ditulis B (singkatan dari benar) dan nilai kebenaran dari pernyataan yang salah ditulis S (singkatan dari salah). Misalnya τ(5+2=7) = B, τ(ekor kambing ada 3) = S.
Dua pernyataan atau lebih dapat digabungkan menjadi sebuah pernyataan baru yang merupakan pernyataan majemuk. Tiap pernyataan dari pernyataan majemuk itu disebut komponen-komponen pernyataan majemuk.
Konjungsi
Dua prnyataan dapat digabungkan dengan “dan” sehingga terbentuk pernyataan majemuk. Notasi “dan” dalam logika matematika ialah ˄. Misalnya bila pernyataan-pernyataannya p dan q, maka p˄q merupakan konjungsi (conjunction) dari pernyataan p dan q, yang artinya “p dan q”.
DEFINISI : Bila p dan q merupakan pernyataan-pernyataan yang benar, maka p˄q merupakan pernyataan yang benar pula, bila p dan q dalam keadaan lainnya, maka p˄q merupakan pernyataan yang salah.
Contoh :
Jakarta ada di pulau Jawa dan 2 + 4 = 6 (Benar)
Jakarta ada di pulau Jawa dan 2 + 4 = 5 (Salah)
Jakarta ada di pulau Bali dan 2 + 4 = 6 (Salah)
Jakarta ada di pulau Bali dan 2 + 4 = 5 (Salah)
Disjungsi
Dua sebarang pernyataan dapat digabungkan oleh perkataan “atau” (maksudnya “dan atau”) sehingga menjadi pernyataan majemuk yang disebut disjungsi (disjunction) dari kedua pernyataan semula. Bila dua pernyataan itu ialah p dan q maka disjungsi dari p dan q ditulis p˅q, dibaca “p atau q”.
DEFINISI : Bila p atau q atau kedua-duanya merupakan pernyataan yang benar, maka p˅q merupakan pernyataan baru yang benar, yang lainnya salah. Jadi, disjungsi dari dua pernyataan itu salah bila kedua komponen pernyataannya merupakan pernyataan yang salah.
Contoh :
Jakarta ada di pulau Jawa atau 2 + 4 = 6 (Benar)
Jakarta ada di pulau Jawa atau 2 + 4 = 5 (Benar)
Jakarta ada di pulau Bali atau 2 + 4 = 6 (Benar)
Jakarta ada di pulau Bali atau 2 + 4 = 5 (Salah)
Untuk menyatakan gabungan dua pernyataan dengan disjungsi, tetapi yang kita maksudkan hanya “atau” (tidak kedua-duanya), digunakan disjungsi eksklusif yang diberi notasi ∨. Jadi, bila p ialah “Jakarta ada di Jawa” dan q ialah “2+4=6”, maka p ∨ q itu merupakan pernyataan yang benar hanya untuk “Jakarta ada di pulau Jawa atau 2 + 4 = 5” dan “Jakarta ada di pulau Bali atau 2 + 4 = 6”, sedangkan “Jakarta ada di pulau Jawa atau 2 + 4 = 6” dalam disjungsi eksklusif ini merupakan pernyataan yang salah.
Penyangkalan
Penyangkalan (negation) dari pernyataan p ditulis ~p dan dibaca “bukan p”. Sudah jelas suatu pernyataan dan penyangkalannya merupakan dua pernyataan yang nilai kebenarannya berlawanan. Misalnya p adalah suatu pernyataan “Jakarta ada di pulau Jawa”, maka ~p ialah “salah bahwa Jakarta ada di pulau jawa” atau dengan perkataan sehari-hari ~p itu ialah “Jakarta tidak ada di pulau Jawa”.
DEFINISI : Penyangkalan p ialah benar bila p merupakan pernyataan yang salah, dan sebaliknya penyangkalan p itu salah bila p merupakan pernyataan yang benar.
Tabel Kebenaran
Untuk dapat melihat nilai kebenaran dari pernyataan majemuk, kita dapat menggunakan tabel kebenaran (truth table). Suatu pernyataan itu dapat benar atau salah. Jadi suatu pernyataan itu mempunyai dua kemungkinan, kemungkinan yang pertama ialah benar dan kemungkinan yang kedua ialah salah. Bila kita mempunyai dua buah pernyataan dan kita gabungkan, maka komposisi gabungan kedua pernyataan itu dapat :
Pernyataan yang pertama benar, pernyataan yang kedua benar
Pernyataan yang pertama benar, pernyataan yang kedua salah
Pernyataan yang pertama salah, pernyataan yang kedua benar
Pernyataan yang pertama salah, pernyataan yang kedua salah
Andaikan pernyataan yang pertama itu ialah p dan pernyataan yang kedua ialah q. Maka komposisi gabungan kedua pernyataan yang disebut di atas itu (empat macam) dapat kita rangkum pada suatu tabel sebagai berikut :
τ(p) τ(q)
B B
B S
S B
S S
p q
B B
B S
S B
S S
Untuk menyederhanakan
Penulisan tanda τ di
buang menjadi
Contoh tabel kebenaran konjungsi, disjungsi, dan penyangkalan :
p q ~p p˄q p˅q ~p˅q
B B S B B B
B S S S B S
S B B S B B
S S B S S B
Tautologi dan Kontradiksi
Pada tabel kebenaran dari suatu pernyataan ada kolom-kolom yang sesuai dengan banyaknya penghubung. Dari kolom-kolom itu ada kolom penghubung terakhir. Bila pada kolom penghubung terakhir itu semuanya B, yaitu bahwa pernyataan itu benar untuk setiap nilaii kebenaran dari setiap pernyataan yang digabungkan (tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya), maka pernyataan yang demikian itu disebut tautologi. Ada juga yang sebaliknya, semuanya S, maka pernyataan yang demikian itu disebut kontradiksi.
Contoh :
p q p˄q p˅q ~(p˄q) ~(p˅q) p˅~(p˄q)* (p˄q)˄~(p˅q)**
B B B B S S B S
B S S B B S B S
S B S B B S B S
S S S S B B B S
(*) semuanya B, maka p˅~(p˄q) ialah tautologi
(**) semuanya S, maka (p˄q)˄~(p˅q) ialah kontradiksi
Pernyataan-pernyataan ekuivalen
Dua pernyataan disebut ekuivalen bila tabel kebenarannya sama. Notasi untuk ekuivalensi ialah ≡.
Contoh :
p q p˅q ~( p˅q) ~p ~q ~p˄~q
B B B S S S S
B S B S S B S
S B B S B S S
S S S B B B B
Karena kolom keempat dan kolom ketujuh sama, maka ~( p˅q) ≡ ~p˄~q.
Pernyataan Kondisionil
Dalam metematika banyak pernyataan-pernyataan atau kalimat-kalimat yang demikian, “bila p maka q”. Pernyataan-pernyataan yang demikian disebut pernyataan-pernyataan kondisionil atau bersyarat dan ditulis p→q (dibaca : bila p maka q). Tanda penghubung disebut implikasi. Pernyataan yang disebut lebih dulu (disini p) disebut antisiden sedangkan yang ditulis kemudian (disini p) disebut konsekwen. Misalnya, “udara berawan maka hari hujan”. Antisidennya ialah “udara berawan” dan konsekwennya ialah “hari hujan”.
DEFINISI : pernyataan p→q itu merupakan pernyataan yang benar, kecuali dalam keadaan p merupakan pernyataan yang benar dan q merupakan pernyataan yang salah.
Tabel kebenaran dari pernyataan kondisionil
p Q p→q
B B B
B S S
S B B
S S B
Contoh :
Bila Jakarta ada di pulau Jawa maka 2 + 4 = 6 (Benar)
Bila Jakarta ada di pulau Jawa maka 2 + 4 = 5 (Salah)
Bila Jakarta ada di pulau Bali maka 2 + 4 = 6 (Benar)
Bila Jakarta ada di pulau Bali maka 2 + 4 = 5 (Benar)
Pernyataan Bikondisionil
Kalimat atau pernyataan dalam matematika yang juga umum ialah “p jika dan hanya jika q”. Pernyataan ini ditulis p↔q dan disebut pernyataan bikondisionil atau bersyarat ganda.
DEFINISI : Bila p dan q merupakan pernyataan-pernyataan yang nilai kebenarannya sama, maka p↔q merupakan pernyataan yang benar, bila p dan q nilai kebenarannya tidak sama, maka p↔q perupakan pernyataan yang salah.
Tabel kebenaran dari pernyataan bikondisionil
p q p↔q
B B B
B S S
S B S
S S B
Contoh :
Jakarta ada di pulau Jawa jika dan hanya jika 2 + 4 = 6 (Benar)
Jakarta ada di pulau Jawa jika dan hanya jika 2 + 4 = 5 (Salah)
Jakarta ada di pulau Bali jika dan hanya jika 2 + 4 = 6 (Salah)
Jakarta ada di pulau Bali jika dan hanya jika 2 + 4 = 5 (Benar)
Pernyataan Konvers, Invers, dan Kontrapositif
Perhatikan pernyataan kondisional p→q. Maka pernyataan q→p, ~p→~q, dan ~q→~p berturut-turut disebut pernyataan konvers, invers, dan kontrapositif.
Pernyataan kondisionil Pernyataan konvers Pernyataan invers Pernyataan kontrapositif
Bila sekarang hari minggu maka besok hari senin Bila besok hari senin maka sekarang hari minggu Bila sekarang bukan hari minggu maka besok bukan hari senin Bila besok bukan hari senin maka sekarang bukan hari minggu
Tabel kebenaran dari pernyataan kondisionil, konvers, invers, dan kontrapositif adalah sebagai berikut :
kondisionil konvers invers Kontrapositif
p q ~p ~q p→q q→p ~p→~q ~q→~p
B B S S B B B B
B S S B S B B S
S B B S B S S B
S S B B B B B B
Kuantor
Ambillah misalnya kalimat matematika tertutup “3<10 dan 0<3”. Ini merupakan kalimat (pernyataan) yang salah. Sedangkan bila lambang bilangan 3 diganti dengan x, maka akan diperoleh “x<10 dan 6<x”. Kalimat matematika terbuka ini, (x<10 dan 6<x) akan menjadi kalimat matematika tertutup bila x diganti dengan harga tertentu, misalnya x = 4. Maka, “x<10 dan 6<x” menjadi “4<10 dan 6<4” yang merupakan pernyataan yang salah. Tetapi bila x diganti dengan 7 maka “x<10 dan 6<x” menjadi “7<10 dan 6<7” yang merupakan pernyataan benar.
Mengganti x dari suatu kalimat matematika terbuka oleh bilangan tertentu agar menjadi suatu pernyataan inilah penggunaan kuantor (quantifier) itu.
Notasi quantifier adalah ∃ x (dibaca : untuk beberapa harga x atau paling sedikit ada satu x) dan ∀ x ( dibaca : untuk semua harga x ). Simbol ∀ x disebut kuantor universil, sedangkan simbol ∃ x disebut kuantor eksistensiil.
Misalkan : x = anggota manusia
p merupakan pernyataan : x adalah mahasiswa maka (∃ x) (p) artinya “beberapa orang adalah mahasiswa” atau “ada paling sedikit satu orang yang merupakan mahasiswa”. Sedangkan ( ∀ x ) maksudnya “semua orang adalah mahasiswa” atau “setiap orang adalah mahasiswa”.
Kita perhatikan penyangkalan dari kuantor (∃ x) (p), dimana ( ∃ x ) (p) artinya ialah “beberapa orang adalah mahasiswa”. Penyangkalan dari “beberapa orang adalah mahasiswa” ialah “semua orang bukan mahasiswa”, sehingga :
~∃ xp↔∀ x(~p)
Sedangkan penyangkalan dari “ semua orang adalah mahasiswa” ialah “beberapa orang adalah bukan mahasiswa” atau
~∀ x(p)↔∃ x~p
Simbol kuantor bisa saja terdapat lebih dari sebuah, misalnya untuk bilangan asli berlaku :
∀ x∀ y(x.y=y.x), yang artinya “untuk setiapp x dan y berlaku x.y = y.x”
Kalimat matematika :
∃ x∃ y(x.y=10), dibaca “ ada paling sedikit x dan y sehingga x.y = 10”
∃ x∀ y(x.y=1), dibaca “ ada sebuah x sehingga untuk semua y berlaku x.y=1”
∀ x∃ y((x+y)=1), artinya “ untuk semua x paling sedikit ada sebuah y sehingga x + y = 1”
(dimana A = {1, 2, 3, ...} ) : ∀ x∈A(x+6>10), dibaca : untuk semua bilangan asli x, x + 6 > 10.
DAFTAR PUSTAKA
Ruseffendi, E.T. 1979. Dasar-dasar Matematika Modern untuk Guru. Tarsito : Bandung .
Komentar
Posting Komentar